ЭММ : 5.Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания — область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в кот. однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства. Такие системы называют системами массового обслуживания (СМО).

Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц — каналов (приборы, станции, линии связи и т. п.). По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.

Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя случайный поток заявок (требований), который характеризуется интенсивностью (частотой появления заявок). Их обслуживание также продолжается какое-то случайное время. Все это приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: либо скапливается большое кол-во заявок (заявки становятся в очередь или покидают СМО необслуженными), либо СМО простаивает.

Предметом теории массового обслуживания является построение мат. моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность и др.) с показателями эффективности СМО.

В качестве показателей эффективности СМО используются: среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени (абсолютная пропускная способность); средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой (относительная пропускная способность); среднее число заявок в очереди; средне время ожидания обслуживания; вероятность отказа в обслуживании и т. п.

Система обслуживания считается заданной, если известны:

1) поток требований, его характер;
2) множество обслуживающих приборов — каналов;
3) дисциплина обслуживания (совокупность правил, задающих процесс обслуживания).

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями. Пример: 1. Система S — технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

СМО делят на 2 основных типа:

• СМО с отказами
• СМО с ожиданием (очередью).

СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т. п.

Для классификации СМО важное значение имеет дисциплина обслуживания, определяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распределения их между свободными каналами. По этому признаку обслуживание заявки может быть организовано по принципу «первая пришла — первая обслужена», «последняя пришла — первая обслужена» или обслуживание с приоритетами.

Приоритет м.б. как абсолютным, когда более важная заявка «вытесняет» из-под обслуживания обычную заявку, так и относительным, когда более важная заявка получает лишь «лучшее» место в очереди.

По организации отбора заявок СМО делят на:

• Замкнутые — к замкнутым относятся системы, в кот. поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. Источник требований находится в самой системе. К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в кот. станки являются источником неисправностей, а, следовательно, источником требований на их обслуживание, например, бригадой наладчиков. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.
• Разомкнутые — если источник требований находится вне самой системы, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Также выделяют детерминированные и стохастические СМО:

• Детерминированные СМО — такие СМО, где время обслуживания и время поступления заявок постоянно. В данных системах, зная время в кот. начинается процесс обслуживания, можно предсказать все, что будет происходить с каждым требованием.
• Модели называют стохастическими моделями — если одна или несколько переменных, участвующих в описании системы, подчиняются вероятностному закону. Модели, построенные для таких систем, должны включать случайные величины.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при кот. будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания.